Центростремительная и центробежная силы. Вращательное движение тела

Владимир.ерашов.рф

Сначала сформулируем объединенный закон инерции, который касается всех тел и всех видов движения:

Последующее кинематическое состояние тела отличается от предыдущего только в том случае, если в период между состояниями на тело начала действовать новая внешняя сила или момент сил и отличается оно только на величину отклика тела на это воздействие.

Этим законом мы никаких новых страниц в кинематике тел не открываем, он получен на основании законов Ньютона, но при сложном движении тела он помогает упростить задачу описания этого движения. Мы исходим из того, что в предыдущем кинематическом состоянии какие бы силы на тело не действовали, оно уже откликнулось на действие этих сил и дальше будет двигаться по приобретенным законам. Например, в первоначальном состоянии на тело действует ускорение а , тело под действием этого ускорения приобрело скорость v , но ускорение продолжает действовать вплоть до последующего состояния. Значит, тело увеличит скорость между состояниями на величину at . Если же между состояниями появится какое-то дополнительное ускорение, то его воздействие достаточно наложить на полученный предыдущий результат, то есть, как бы воспользоваться независимостью действия сил. Главная же нить объединенного закона инерции в том, что если нет изменения действующих сил между состояниями, то нет и изменений законов движения тела, как в жизни, последующий день нанизывается на предыдущий. Если вчера у вас за душой не было ни копейки денег, то и сегодня вы проснетесь без копейки денег. Если вчера вы отправились в длительное морское путешествие на круизном лайнере, то и сегодня вы проснетесь на круизном лайнере. Если у вас чистая рубашка, то значит, ее кто-то постирал. Ни пылинка, ни волос сами собой с вас не упадут, на то должна быть причина (читай какая-то сила). Если до вращения главная ось инерции тела была перпендикулярна поверхности Земли и покоилась относительно этой поверхности, то и после раскрутки тела она будет покоиться относительно Земли, как и раньше (при устойчивом вращении, в случае неустойчивого вращения на тело действует конкретная сила). Изменения в состоянии тела могут происходить, но только под действием конкретной силы или момента сил и никак иначе.

Чтобы легче понять действие сформулированного закона, да еще и попытаться извлечь из этого закона практическую пользу, рассмотрим конкретный пример – это наша вращающаяся Земля и тела на ее поверхности.

Первое, уточним, на Землю действует закон всемирного тяготения Ньютона , поэтому она круглая, как шар.

Второе, на Землю действует центробежное ускорение от вращения, под действием этого ускорения Земля приобрела форму геоида вращения. Уточним, свойство Земли-геоида в том, ч то в любой точке поверхности Земли любое тело остается неподвижным (даже если оно способно свободно двигаться) за счет того что результирующая сила, действующая на тело, от сил притяжения и центробежной силы инерции направлена перпендикулярно поверхности и уравновешивается реакцией этой поверхности (свойство геоида). За счет геоида вращения даже океан на поверхности Земли пришел в равновесное состояние и приобрел неподвижность относительно поверхности, потому и геоид.

Вернемся к телу на поверхности Земли, никто нам не мешает предположить, что на поверхности Земли лежит брусок в форме прямоугольного параллелепипеда. Главная ось инерции этого бруска проходит через точку опоры на поверхности и перпендикулярна поверхности. Отметим, относительно Земли брусок лежит неподвижно, а относительно звезд он вместе с Землей совершает один оборот в сутки.

Выделим для читателей, относительно звезд брусок является вращающимся телом с одним оборотом в сутки, главная ось инерции этого бруска перпендикулярна поверхности Земли и неподвижна относительно Земли. Раскрутим брусок до больших оборотов относительно его главной оси инерции. Останется ли ось бруска перпендикулярной и неподвижной относительно Земли? Либо, как это принято считать, она по отношению к Земле приобретет движение (поворот) и относительно звезд изменит свое состояние от вращения с одним оборотом в сутки перейдет к неподвижному состоянию?

По объединенному закону инерции, после раскрутки брусок должен сохранить неподвижное состояние оси вращения (главной оси инерции) относительно Земли, а относительно звезд по прежнему вращаться с угловой скоростью один оборот в сутки. Мотивируется это тем, что при раскрутке бруска, если брусок отболансирован относительно оси вращения, на цент масс бруска будут действовать те же силы, что и в предшествующем состоянии (до раскрутки). Следовательно, последующее состояние бруска (после раскрутки) тождественно предыдущему состоянию (до раскрутки) и брусок должен сохранить все свойства предшествующего состояния и не получить никаких изменений, в том числе ось вращения бруска должна остаться неподвижной и перпендикулярной относительно поверхности Земли.

Если кому-то не нравится объединенный закон инерции и он не согласен с выводами по объединенному закону, то поведение бруска (вращающегося тела) после раскрутки сохранять свое первоначальное состояние, объясним тем, что на цент масс бруска раскрутка никаких новых сил не добавила, и все параметры движения центра масс бруска в пространстве остались прежними.

Вообще, в условиях Земли на тело хоть вращающееся, хоть не вращающееся действуют следующие силы:

1. Сила притяжения Земли.

2. Сила инерции.

3. Реакция опоры.

Никаких других сил в природе не существует, есть еще ускорение Кориолиса, но оно является производной от сил инерции (не является самостоятельной силой) и появляется только тогда, когда существует перемещение тела относительно поверхности Земли. Само же ускорение Кориолиса перевести тело из неподвижного относительно Земли состояния в подвижное не может, нет движения относительно земли, нет и ускорения Кориолиса.

Быстро вращающиеся относительно главной оси инерции тела принято называть гироскопами. Гироскопы обладают рядом уникальных свойств. Рассмотрим эти свойства и мы. Принято считать, что главное свойство гироскопа состоит в том, что они всегда сохраняют неподвижным положение оси вращения относительно звезд.

Наша же теория вносит существенное уточнение в это свойство гироскопа. В инерциальных системах координат это свойство гироскопа неукоснительно соблюдается, здесь мы солидарны с принятой теорией, а вот в неинерциальных системах отсчета, в частности связанных с поверхностью вращающейся Земли, это свойство не действует иначе, ось гироскопа, если вращение устойчивое, сохраняет свое первоначальное положение и относительно звезд, и относительно Земли. Но так как в первоначальном положении ось гироскопа вращалась относительно звезд, то она и продолжит вращаться относительно звезд с этой же скоростью, а относительно Земли как была неподвижна, так и останется неподвижной. Инертно состояние тела, инертно движение оси, а не направленность на что либо.

Вывод по началу непривычный (инертность мышления), что требуются дополнительные комментарии. Возь мем простой волчо к (юлу). Запустим волчо к. Предположим, что силы трения в основании оси волчка минимальны, и он может сохранять вращение относительно долго. По нашей теории, ось вращения волчка остается неподвижной и перпендикулярной поверхности Земли, следовательно, волчку ничто не препятствует устойчивому и долгому вращению. В жизни волчо к нельзя абсолютно изолировать от внешних сил, какие-то внешние силы, назовем их случайными, все же воздействуют на ось волчка и отклоняют его от вертикального положения. Дальше, сила веса отклоняется от точки опоры, возникает момент сил, на который волчо к откликается прецессией.

Если ось вращения волчка, как это принято считать, должна сохранять неподвижное состояние относительно звезд, то она не может сохранять долго вертикальное положение относительно поверхности Земли, будет наклоняться с востока на запад со скоростью один оборот за сутки (12 градусов в час). Ось вращения такого волчка уже за пять минут вращения отклонится от вертикали примерно на один градус. Если раньше, при вертикальном положении оси вращения, сила тяжести, действующая на цент масс лежала на оси вращения и проходила через точку опоры и никакого перемещения центра масс не вызывала, то при наклоне оси вращения должен возникать опрокидывающий момент. При чем, опрокидывающий момент циркулирует не только по направлению, но и по величине. Он максимален в нижнем положении центра масс и минимален в верхнем положении. Таким образом, этот момент должен вызывать не прецессию волчка, а его нутацию. Это противоречит результатам экспериментов с волчком. У волчка основное движение – это прецессия, а нутация появляется только в самом конце вращения, когда вращение уже близко к беспорядочному.

Есть в промышленности такие агрегаты, как центрифуги. За счет очень большого числа оборотов эти агрегаты очень чувствительны к воздействию внешних сил. Если бы их ось вращения оставалась неподвижной относительно звезд, а относительно поверхности Земли наклонялась, то эти агрегаты уходили бы в разнос и разлетались, а они работают. Следовательно, справедлив наш вариант трактовки поведения вращающихся тел в неинерциальной системе координат, а не общепринятый. Который и принят-то исходя из опытов, а не из теоретических обоснований. Значит, не разобрались как следует с опытным материалом, не то, что есть, приняли за постулат.

Вывод

Объединенный закон инерции действует во всех системах отсчета, как в инерционных, так и в неинерционных. На основании этого закона вскрыто ошибочное представление о существующем первом законе гироскопа, по которому ось вращения гироскопа должна всегда находиться неподвижной относительно звезд. Установлено, что гироскопы так ведут себя только в инерциальных системах отсчета, в неинерциальных нужно пользоваться не этим правилом, а объединенным законом инерции.

12. 07. 2018 г.

Допустим, что твердое тело А (рис. 1.19, а) может вращаться вокруг некоторой неподвижной оси. Для того чтобы вызвать вращение тела (изменить его угловую скорость), необходимо внешнее воздействие. Однако сила направление которой проходит через ось вращения, или сила параллельная оси, не могут изменить угловую скорость тел.

Поэтому из приложенной к телу внешней силы необходимо выделить составляющие не вызывающие вращения. Вращение может быть вызвано только силой (вращаюшей силой), лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения и направленной по касательной к окружности, которую описывает точка ее приложения.

Заметим, что при вращении тела составляющие работы не совершают, так как точка приложения этих сил перемещается перпендикулярно их направлениям. Работу совершает только вращающая сила она является проекцией действующей на тело силы на направление движения точки приложения этой силы.

Определим величину работы которую совершает вращающая сила, если точка приложения ее смещается по окружности радиуса на (рис. 1.19, б). Предположим, что величина силы при этом остается постоянной. Тогда

Произведение вращающей силы на радиус есть момент вращающей силы, или вращающий момент, действующий на данное тело, и обозначается через (напомним, что моментом данной силы относительно какой-нибудь оси называется произведение этой силы на ее плечо, т. е. на длину перпендикуляра, проведенного от указанной

оси до направления действия силы). Таким образом, в формуле (2.8)

следовательно, работа, совершаемая вращающим моментом, равна произведению этого момента на угол поворота тела:

Если вращающий момент (сила или ее плечо ) с течением времени изменяется, то совершаемая работа определяется как сумма:

Момент вращающей силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью вращения; положительную ориентировку этого вектора выбирают в том направлении, в котором перемещался бы правый винт, вращаемый этим моментом.

Вращающий момент приложенный к телу, сообщает ему некоторое угловое ускорение согласно выбранным нами направлениям векторов они ориентированы по оси вращения в одну и ту же сторону. Связь между величиной вращающего момента и величиной сообщаемого им углового ускорения можно установить двумя способами:

а) можно воспользоваться тем, что работа движущей силы равна изменению кинетической энергии тела, к которому эта сила приложена: Для вращающегося тела, согласно формулам (2.9) и (2.4), имеем

Здесь мы предполагаем, что момент инерции тела при вращении не изменяется. Разделив это уравнение на и сократив на получаем

б) можно воспользоваться тем, что момент вращающей силы равен сумме моментов сил, которые сообщают отдельным составным частям тела тангенциальные ускорения эти силы равны а их моменты -

Заменим тангенциальные ускорения на угловое ускорение, которое одинаково для всех частиц вращающегося тела (если тело при вращении не деформируется): Тогда

Формула (2.12) выражает основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирую-щихся) тел, для которых

угловое ускорение, приобретаемое телом под действием данного вращающего момента прямо пропорционально величине этого момента и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:

В векторной форме этот закон записывается в виде

Если тело при вращении деформируется, то момент инерции его относительно оси вращения будет изменяться. Мысленно представим вращающееся тело состоящим из множества элементарных (точечных) частей; тогда деформация всего тела будет означать изменение расстояний от этих частей тела до оси вращения. Однако изменение расстояния данной угловой скорости вращения со будет сопровождаться изменением линейной скорости движения этой частицы следовательно, и ее кинетической энергии. Таким образом, при постоянной угловой скорости вращения тела изменение расстояний (следовательно, изменение момента инерции тела) будет сопровождаться изменением кинетической энергии вращения всего тела.

Из формулы (2.4), если полагать переменным, можно получить

Первое слагаемое показывает изменение кинетической энергии вращающегося тела, которое произошло только вследствие изменения угловой скорости вращения (при данном моменте инерции тела), а второе слагаемое показывает изменение кинетической анергии, которое произошло только вследствие изменения момента инерции тела (при данной угловой скорости вращения).

Однако при изменении расстояния от точечного тела до оси вращения внутренние силы, связывающие это тело с осью вращения, будут совершать работу: отрицательную, если тело удаляется, и положительную, если тело приближается к оси вращения; эта работа может быть рассчитана, если полагать, что сила, связывающая частицу с осью вращения, численно равна центростремительной силе:

Для всего тела, состоящего из множества частиц с массами получим

В общем случае, когда на тело действует внешний вращающий момент изменение кинетической энергии должно быть приравнено сумме двух работ: внешнего вращающего момента и внутренних сил При ускоренном вращении величины будут иметь положительные знаки, - отрицательный

знак (так как частицы тела удаляются от оси вращения); тогда

Подставив сюда значение из выражения (2.15) и заменив на получим

или после сокращения

Это есть общий вид основного закона механики для тел, вращающихся относительно неподвижной оси он применим и для деформирующихся тел. При формула (2.16) переходит в формулу (2.14).

Заметим, что у деформирующихся тел изменение угловой скорости вращения возможно и при отсутствии внешнего вращающего момента. Действительно, при -из формулы (2.16) получаем:

В этом случае угловая скорость вращения со изменяется только вследствие изменения момента инерции тела, вызванного внутренними силами.

Рассмотрим самый простой случай: шарик массой т равномерно движется со скоростьюv 0 вдольрадиуса вращающегося диска. Чтобы обеспечить такое движение снабдим шарикнаправляющимстержнем, по которому он мог бы перемещаться без трения. Нитка, прикрепленная к шарику, позволит ему в радиальном направлении двигаться с постоянной скоростьюv 0 (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Диск вращается с угловойскоростью. Опишем движение шарика в неподвижной инерциальной системе отсчётаS (x ,y ). В этой системе движение шарика складывается из двух движений: равномерного прямолинейного - по радиусу диска со скоростьюv 0 и кругового движения с угловой скоростью.

В результате сложения этих двух движений, шарик будет двигаться по криволинейной траектории - разворачивающейся спирали.

В произвольный момент времени t шарик на расстоянииr от оси вращения будет иметь радиальную скоростьv 0 и касательную - тангенциальную скорость, связанную с вращением диска (r ) (рис. 5.7).

Рис. 5.7

Посмотрим, как изменятся эти скорости шарика спустя малое время dt .

Во-первых, вся картина скоростей повернётся на угол d =dt (рис. 5.7 б). Во вторых, радиальная скорость (оставаясь неизменной по величине -V 0) получит приращение:

dV 1 =V 0 d =V 0 dt , (5.5)

связанное с повтором вектора скорости V 0 на уголd =dt .

Изменится и тангенциальная скорость. Её изменение по величине определяется тем, что шарик удалится от оси вращения на расстояние dr =V 0 dt . Поэтому:

dV 2 =(r +dr ) –r =dr =V 0 dt . (5.6)

Кроме того, эта скорость изменится на величину:

dV 3 = rd  = r dt =  2 rdt , (5.7)

в связи с поворотом вектора этой скорости на угол d .

Проанализировав все эти изменения, придём к выводу, что в радиальном направлении изменение скорости составит величину:

dV r =dV 3 = 2 rdt ,

а в тангенциальном:

dV  =dV 1 +dV 2 = 2V 0 dt .

Разделив эти изменения на промежуток времени dt , получим соответствующие компоненты ускорения:

; (5.8)

. (5.9)

Несложно ответить на вопрос: какие силы обеспечивают эти ускорения?

Центростремительное ускорение создаётся упругой силой натяжения нити (F ц.с. =F упр. =ma ц.с. =m  2 r ), направленной по радиусу к оси вращения. Касательное ускорениеa  поддерживается упругой силой деформированного стержня (
=ma  =m 2V 0). Стержень при движении прогибается и действует на шарик с силой, направленной в сторону вращения (рис. 5.8).

Рис. 5.8

Запишем уравнения движения шарика в инерциальной системе отсчёта. Это уравнения второго закона Ньютона для двух движений - вдоль радиуса:

, (5.10)

и в перпендикулярном направлении:

. (5.11)

Теперь посмотрим, как представляется движение этого же шарика наблюдателю, вращающемуся вместе с диском.

Этот наблюдатель видит, что шарик в его вращающейся системе отсчёта движется равномерно и прямолинейно со скоростью =сonst вдоль радиуса диска. Ускорение шарика равно нулю, но при этом на него действует упругая сила натяжения нитиF ц.с. =m  2 r и упругая сила деформированного стержняF =m 2V 0 . Их равнодействующая никак не может быть равна нулю.

Для того, чтобы записать уравнение движения этого тела в неинерциальной системе отсчёта в виде уравнений второго закона Ньютона, к реально действующим упругим силам прибавим две силы инерции (рис. 5.9):

(5.12)

. (5.13)

Рис. 5.9

Теперь и в радиальном и в тангенциальном направлениях суммы сил будут равны нулю, что и объясняет равномерное движение шарика вдоль радиуса.

С первой из сил инерции
мы знакомы. Это центробежная сила инерции.

Вторая сила инерции
называется силой Кориолиса.

Эти силы можно записать в векторном виде:

.

Подводя итог рассмотрению движений в неинерциальных системах отсчёта, отметим следующие основные моменты.

Ньютоновским уравнением движения можно воспользоваться и в неинерциальных системах отсчёта. Но при этом систему реально действующих сил нужно дополнить силами инерции.

В неинерциальной системе отсчёта, движущейся прямолинейно и поступательно с ускорением , сила инерции равна:

. (5.14)

В неинерциальной системе отсчёта, вращающейся с угловой скоростью , в общем случае следует ввести две силы инерции:

центробежную
, (5.15)

и кориолисову
. (5.16)

На расстоянии R от оси горизонтально расположенного диска находится тело, коэффициент трения которого о диск равен k. Диск вращается с угловой скоростью ω.

На тело действуют три силы:
сила тяжести m , сила реакции опоры и сила трения тр.

В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, второй закон Ньютона будет иметь вид:

Движение тела относительно Земли представляет собой движение в горизонтальной плоскости по окружности радиусом R. Силы, действующие на него в вертикальном направлении, скомпенсированы. Вектор ускорения лежит в горизонтальной плоскости, а само ускорение является центростремительным. Его величина определяется формулой:

Проецирование векторного уравнения на координатные оси X и Y дает два скалярных уравнения:


Первое уравнение показывает, что в роли центростремительной силы выступает сила трения, второе — констатирует, что вертикальные силы взаимно уравновешены.

Сила трения покоя подчиняется неравенству:

поэтому при

Рассмотрим вращение камня массой m на веревке (рис. 4.8).

Рис. 4.8

В каждый момент времени камень должен был бы двигаться прямолинейно по касательной к окружности. Однако он связан с осью вращения веревкой. Веревка растягивается, появляется упругая сила, действующая на камень, направленная вдоль веревки к центру вращения. Это и есть центростремительная сила (при вращении Земли вокруг оси в качестве центростремительной силы выступает сила гравитации).

Но так как то

		(4.5.2)
		(4.5.3)

Центростремительная сила возникла в результате действия камня на веревку, т.е. это сила, приложенная к телу, – сила инерции второго рода . Она фиктивна – ее нет.

Сила же, приложенная к связи и направленная по радиусу от центра, называется центробежной .

Помните, что центростремительная сила приложена к вращающемуся телу, а центробежная сила – к связи.

Сила гравитационного притяжения направлена к центру Земли.
Сила реакции опоры (нормального давления) направлена перпендикулярно к поверхности движения.

Центробежная сила – сила инерции первого рода. Центробежной силы, приложенной к вращающемуся телу, не существует.

С точки зрения наблюдателя, связанного с неинерциальной системой отсчета, он не приближается к центру, хотя видит, что F цс действует (об этом можно судить по показанию пружинного динамометра). Следовательно, с точки зрения наблюдателя в неинерциальной системе есть сила, уравновешивающая F цс, равная ей по величине и противоположная по направлению:

Т.к. a n = ω 2 R (здесь ω – угловая скорость вращения камня, а υ – линейная), то

F цб = m ω 2 R .

(4.5.4)

Все мы (и физические приборы тоже) находимся на Земле, вращающейся вокруг оси, следовательно, в неинерциальной системе (рис 4.9).

Рис. 4.9